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网站搭建源码,堆龙德庆网站建设,枫泾网站建设,网站品牌建设方案核心比喻#xff1a;乐高积木世界 想象高斯过程就像乐高积木系统#xff1a; 基本积木块 高斯随机变量 复杂结构 高斯过程 搭建规则 线性操作 1. 高斯过程的定义回顾#xff1a;乐高世界的宪法 简单定义#xff1a; 一个随机过程是高斯过程#xff0c;当且仅当乐高积木世界想象高斯过程就像乐高积木系统基本积木块 高斯随机变量复杂结构 高斯过程搭建规则 线性操作1. 高斯过程的定义回顾乐高世界的宪法简单定义一个随机过程是高斯过程当且仅当每个时刻的输出都是高斯随机变量任意有限个时刻的联合分布也是高斯的乐高比喻规则1每个积木块都是标准乐高块高斯变量规则2任意组合这些积木得到的结构仍然是“纯乐高”联合高斯关键点只要知道均值函数和协方差函数就完全掌握了整个过程均值函数 积木结构的“中心线”协方差函数 积木块之间的“连接规则”2. 高斯过程的神奇特性特性1线性变换后仍是高斯——乐高的“封闭性”比喻你把乐高结构拉伸、压缩、旋转线性变换拆开重组线性组合多个结构拼接求和结果得到的仍然是纯乐高结构数学表述如果X(t)是高斯过程那么Y(t) a·X(t) b缩放平移→ 仍是高斯Y(t) X(t) Z(t)加独立高斯→ 仍是高斯Y(t) ∫ h(τ)X(t-τ)dτ线性滤波→ 仍是高斯工程意义在通信系统中信号通过线性滤波器 → 输出仍是高斯信号加上高斯噪声 → 接收信号仍是高斯这大大简化了分析和设计特性2不相关 ⇔ 独立——乐高的“完美模块化”对比普通随机变量一般情况下不相关 ≠ 独立高斯情况下不相关 独立比喻普通积木两个蓝色积木不相关颜色不一起变化但可能依赖比如都是从同一个模具出来的乐高高斯积木如果两个积木块不相关连接点不匹配那么它们完全独立可以任意组合互不影响数学本质对于高斯变量X,Y联合概率密度可分解f(x,y) f(x)·f(y)⇔ 相关系数ρ0协方差矩阵是对角阵 ⇔ 所有变量相互独立应用信号处理如果知道高斯噪声样本间不相关就能立即断定它们独立统计建模多元高斯分布中零协方差意味着完全独立特性3条件分布和边缘分布仍是高斯——乐高的“分形自相似”场景你有5个时刻的高斯过程观测[X₁, X₂, X₃, X₄, X₅]神奇现象取子集如只看[X₁, X₃, X₅]→ 仍是高斯边缘分布固定部分值如已知X₂1.5, X₄2.0预测X₃→ 条件分布仍是高斯比喻乐高城堡只取东塔部分 → 仍是完整的乐高结构固定地基看上层建筑 → 仍是乐高风格公式直观对于多元高斯[X₁, X₂]已知X₂x₂时X₁的条件分布是N(μ₁ ρ·(σ₁/σ₂)·(x₂-μ₂), σ₁²·(1-ρ²))仍然是高斯只是均值和方差变了。实际应用卡尔曼滤波基于高斯假设预测和更新都保持高斯形式高斯过程回归预测值的不确定性也是高斯分布缺失数据插值已知部分点未知点的分布仍是高斯特性4高斯过程完全由二阶统计确定——乐高的“简单配方”对比一般随机过程可能需要所有阶矩均值、方差、偏度、峰度、高阶相关...复杂的分布描述高斯过程只需要均值函数m(t) E[X(t)]协方差函数K(t,s) Cov(X(t), X(s))比喻普通模型需要完整设计图纸高斯模型只需要中心线和连接规则为什么重要可计算只需要估计均值和协方差可设计通过设计协方差函数创造不同特性的高斯过程指数协方差 → 连续但不光滑平方指数协方差 → 无限可微的光滑过程周期协方差 → 周期性过程特性5中心极限定理的终极体现——大自然的“标准化”物理基础高斯噪声热噪声、散粒噪声普遍存在因为由大量独立微小效应叠加满足中心极限定理条件无论微观分布如何宏观上趋于高斯比喻乐高成为世界标准因为任何复杂形状都能用基本块近似组合规则简单统一兼容性极好工程意义当你不确定噪声分布时默认假设为高斯通常是合理的高斯假设下的设计往往是最优或接近最优的即使实际非高斯高斯假设也常给出有用近似3. 高斯过程的“特殊套餐”套餐A平稳高斯过程特性均值常数协方差只与时间差有关额外福利严平稳 宽平稳对高斯过程成立如果均值为零相关函数 ⇔ 功率谱密度维纳-辛钦定理遍历性容易验证套餐B白高斯噪声定义零均值不同时刻不相关且独立因为是高斯协方差K(t,s) σ²·δ(t-s)冲激函数功率谱常数所有频率等功率比喻乐高“粉末”——每个瞬间都是独立的高斯块套餐C高斯-马尔可夫过程特性未来只依赖于现在不依赖于过去例子布朗运动维纳过程、Ornstein-Uhlenbeck过程优势状态空间模型可用卡尔曼滤波高效处理4. 高斯过程在工程中的王牌应用应用1最优滤波维纳滤波、卡尔曼滤波为什么有效在高斯假设下最小均方误差估计 线性估计结果最优滤波器是线性的计算简单实际即使实际非高斯也常用作次优但稳健的方案应用2检测理论高斯噪声中的信号检测判决规则简化为比较似然比错误概率可用Q函数精确计算性能分析有闭式解应用3通信系统分析加性高斯白噪声AWGN信道香农容量公式的基础误码率分析的基准所有通信教材的起点应用4机器学习高斯过程回归思想直接对函数建模为高斯过程优势不仅预测值还给出不确定性估计输出每个预测点都是一个高斯分布5. 高斯过程的局限性局限1对称性高斯分布对称 → 不能建模不对称现象反例股票收益率负收益比正收益更常见局限2尾部太薄高斯分布衰减exp(-x²)→ 极端事件概率被低估反例金融崩盘、网络流量突发局限3线性依赖只能刻画线性关系通过协方差反例Y X² 噪声X高斯时Y是卡方分布非高斯6. 如何识别高斯过程实验方法Q-Q图样本分位数 vs 高斯分位数 → 看是否直线检验Kolmogorov-Smirnov检验、Jarque-Bera检验目测直方图是否钟形是否对称理论判断如果过程是大量独立效应的和 → 可能高斯物理热力学噪声 → 通常高斯线性系统对高斯输入的响应 → 一定高斯一句话总结高斯过程的特殊性“高斯过程是随机过程中的‘理想气体’模型简单只须均值和协方差性质完美线性不变、不相关即独立普遍存在中心极限定理加持数学友好几乎所有问题有解析解”记住这个高斯套餐线性操作后还是高斯不相关就是独立条件/边缘仍是高斯完全由一阶二阶矩确定