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旅游网站建设价格,本地网站建设官网,网站建设 投标书,国内知名网站制作公司luogu P5824 十二重计数法 有 nnn 个球和 mmm 个盒子#xff0c;球要全部装进盒子里#xff0c;计数。 I#xff1a;球之间互不相同#xff0c;盒子之间互不相同。 nmn^mnm II#xff1a;球之间互不相同#xff0c;盒子之间互不相同#xff0c;每个盒子至多装一个球。 ∏…luogu P5824 十二重计数法有nnn个球和mmm个盒子球要全部装进盒子里计数。I球之间互不相同盒子之间互不相同。nmn^mnmII球之间互不相同盒子之间互不相同每个盒子至多装一个球。∏i1n(m1−i)\prod_{i1}^n(m1-i)i1∏n​(m1−i)III球之间互不相同盒子之间互不相同每个盒子至少装一个球。∑i0m(−1)m−i(mi)in\sum_{i0}^m(-1)^{m-i}\binom{m}{i}i^ni0∑m​(−1)m−i(im​)inIV球之间互不相同盒子全部相同。直接写成第二类斯特林数求和的形式枚举非空盒子数答案为∑i1m{ni}\sum_{i1}^m\begin{Bmatrix}n\\i\end{Bmatrix}i1∑m​{ni​}第二类斯特林数{nm}\begin{Bmatrix}n\\m\end{Bmatrix}{nm​}满足mn∑i0m{ni}i!(mi)m^n\sum_{i0}^m\begin{Bmatrix}n\\i\end{Bmatrix}i!\binom{m}{i}mni0∑m​{ni​}i!(im​)mmm个集合中任选的方案数等于其中挑iii个非空的剩余全空的方案数即{nm}1m!∑i0m(−1)m−i(mi)in∑i0m(−1)m−iini!(m−i)!\begin{Bmatrix}n\\m\end{Bmatrix}\frac{1}{m!}\sum_{i0}^m(-1)^{m-i}\binom{m}{i}i^n \sum_{i0}^m\frac{(-1)^{m-i}i^n}{i!(m-i)!}{nm​}m!1​i0∑m​(−1)m−i(im​)ini0∑m​i!(m−i)!(−1)m−iin​V球之间互不相同盒子全部相同每个盒子至多装一个球。[n≤m][n \le m][n≤m]VI球之间互不相同盒子全部相同每个盒子至少装一个球。{nm}\begin{Bmatrix}n\\m\end{Bmatrix}{nm​}VII球全部相同盒子之间互不相同。(nm−1m−1)\binom{n m -1}{m - 1}(m−1nm−1​)VIII球全部相同盒子之间互不相同每个盒子至多装一个球。(mn)\binom{m}{n}(nm​)IX球全部相同盒子之间互不相同每个盒子至少装一个球。(n−1m−1)\binom{n - 1}{m - 1}(m−1n−1​)X球全部相同盒子全部相同。拆分数把nnn拆成mmm个数的和的方案。fi,jfi,j−1fi−j,jf_{i, j} f_{i, j - 1} f_{i - j, j}fi,j​fi,j−1​fi−j,j​。构造生成函数Fj(x)f0,jf1,jx⋯fi,jxi⋯F_j(x) f_{0, j} f_{1, j}x \cdots f_{i, j} x^i \cdotsFj​(x)f0,j​f1,j​x⋯fi,j​xi⋯。[xi]Fj(x)[xi−j]Fj(x)[xi]Fj−1(x)[x^i]F_j(x) [x^{i-j}]F_j(x) [x^i]F_{j-1}(x)[xi]Fj​(x)[xi−j]Fj​(x)[xi]Fj−1​(x)。Fj(x)Fj−1(x)xjFj(x)F_j(x) F_{j-1}(x) x^jF_j(x)Fj​(x)Fj−1​(x)xjFj​(x)即Fj(x)Fj−1(x)1−xjF_j(x) \frac{F_{j-1}(x)}{1-x^j}Fj​(x)1−xjFj−1​(x)​。F0(x)1F_0(x) 1F0​(x)1代入得Fi(x)∏j1m11−xjexp⁡(∑j1m−log⁡(1−xj))exp⁡(∑j1m∑ixijiF_i(x) \prod_{j1}^m\frac{1}{1 - x^j} \exp(\sum_{j 1}^m-\log(1-x^j)) \exp(\sum_{j1}^m\sum_i\frac{x^{ij}}{i}Fi​(x)∏j1m​1−xj1​exp(∑j1m​−log(1−xj))exp(∑j1m​∑i​ixij​)。直接计算即可。XI球全部相同盒子全部相同每个盒子至多装一个球。[n≤m][n \le m][n≤m]XII球全部相同盒子全部相同每个盒子至少装一个球。将nnn变为n−mn-mn−m每个盒子先装一个球情况就变得与第101010条等价。