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网站店铺vr场景可以做吗,有什么软件可以找客户,大数据,亿网联播本系列课程将深入探讨机械手臂的运动学与操作。在正式进入机械手臂的具体内容之前#xff0c;我们需要补充一些必备的数学基础#xff0c;核心在于如何精确地描述一个“刚体”#xff08;Rigid Body#xff09;的运动状态。这是因为在后续分析中#xff0c;我们通常将机械…本系列课程将深入探讨机械手臂的运动学与操作。在正式进入机械手臂的具体内容之前我们需要补充一些必备的数学基础核心在于如何精确地描述一个“刚体”Rigid Body的运动状态。这是因为在后续分析中我们通常将机械手臂的各个部件视为刚体来处理。2.1 概述问题1一个刚体的状态是如何描述的1、在平面上·移动 (Translation)物体可以在平面上沿X轴水平和Y轴竖直移动 。因此需要两个参数来确定其位置。这对应两个移动自由度 (2 DOFs)。·转动 (Rotation)物体还可以在平面内绕着某个点旋转顺时针或逆时针。这需要一个参数来描述其朝向 。这对应一个转动自由度 (1 DOF)。总结来说描述一个平面刚体的运动状态总共需要 3个自由度2个移动 1个转动。2、在空间上现在考虑空间中的刚体。世界坐标系相应地增加一个Z轴变为三维坐标系 {W} (或 {A})。·移动 (Translation)物体的质心可以在空间中沿X轴左右、Y轴上下和Z轴前后移动 。因此需要三个参数来描述其位置。对应三个移动自由度 (3 DOFs)。·转动 (Rotation)物体可以分别绕着X轴、Y轴和Z轴进行旋转 。这需要三个参数来描述其姿态。对应三个转动自由度 (3 DOFs)。因此描述一个空间刚体的运动状态总共需要 6个自由度3个移动 3个转动。2.2 描述位置、姿态与坐标系既然刚体在空间中运动包含移动和转动两部分有没有一种简洁的方法能将它们统一起来表达呢如何整合表示刚体的状态在刚体上建立frame常建立在其坐标系。这个坐标系一般叫body frame1、移动由body frame的原点位置判断确定位置2、转动就是指body frame坐标系相对world坐标系的转动这个叫姿态描述确定方向解析答案是在 刚体本身 上建立一个坐标系我们称之为“体坐标系”Body Frame通常用 {B} 表示 。这个坐标系是固定在刚体上的会随着刚体一起运动。通常我们会将体坐标系的原点建立在刚体的一个固定点上比如质心 (被视为质量的中心) 。如上图所示在绿色刚体上画上了一个橘色的坐标系统 {B} 。通过引入体坐标系 {B}我们可以这样描述刚体的状态 ·移动状态通过追踪体坐标系 {B} 的原点 (质心) 相对于世界坐标系 {A} (或称为{W}) 的位置来确定。·转动状态姿态通过观察体坐标系 {B} 的三个坐标轴XB,YB,ZB相对于世界坐标系 {A} (或称为{W}) 的朝向或姿态来确定。这样借助体坐标系的原点位置和三个轴的姿态我们就能同时描述刚体的移动和转动状态了。2.2.1 位置的描述移动的描述如何确定刚体的移动我们来更具体地量化描述移动。如前所述我们在刚体绿色椭圆上建立了体坐标系 {B}橘色并在旁边设置了世界坐标系 {A} 。要描述移动关键是追踪体坐标系 {B} 原点通常设在质心的位置。在三维空间中这个向量有三个分量Px、Py和 Pz。例如上图中的例子 向量P [10,3,3]T意味着体坐标系原点在世界坐标系 X轴 上的投影距离是10Y轴上是3Z轴上也是3 。只要我们知道在任何时刻这三个分量的值就能精确掌握刚体重心在空间中的位置 。2.2.2 位姿的描述转动的描述接下来我们深入探讨如何描述转动也就是刚体的姿态。我们利用体坐标系 {B} 的三个主轴来代表刚体在空间中的姿态 。这三个轴向量都是从世界坐标系 {A} 的角度观察和描述的 。我们可以将这三个单位向量表示方向作为列向量排列起来形成一个3x3的矩阵。这个矩阵被称为旋转矩阵 (Rotation Matrix)记作表示{B}(体坐标系)相对于{A}(世界坐标系) 的旋转为什么会有点积出现其实就是将body frame坐标系的某个轴投影到A坐标系。例如将B坐标系的XB轴投影到A坐标系的XA、YA、ZA轴上就是XB与A坐标系三个轴的点积。因此旋转矩阵:用 {B}(体坐标系) 在 {A}(世界坐标系) 上的 (点积) 投影来实现体坐标系 (体姿态) 到世界坐标系的转换。例题旋转矩阵的特性1特性1坐标系 {B}相对于坐标系{A} 的旋转矩阵与坐标系 {A}相对于坐标系{B} 的旋转矩阵差一个转置与下面对比旋转矩阵特性2拓展一个刚体的运动如何描述前面讨论的是某个瞬间的几何状态位置和姿态。而“运动”是状态随时间的变化。如何描述这种变化呢 ·速度与加速度记录下刚体质心即体坐标系原点在不同时间点的位置形成一条运动轨迹如PPT中的红色曲线。对这条轨迹位置向量关于时间进行一次微分得到质心的速度进行二次微分得到质心的加速度 。·角速度与角加速度类似地通过对描述姿态的参数我们稍后会详细介绍如旋转矩阵进行一次和二次微分可以得到刚体的角速度和角加速度 。因此只要能精确描述刚体在任意时刻的几何状态6个自由度通过微分运算就能掌握其完整的运动状态速度、加速度、角速度、角加速度。小结2.2.3 坐标系描述