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NL - 1 。灰度值为 i 的点的概率为 Pi Ni / N 。用 t 作为分割阈值将图像分为前景和背景两类前景像素点占图像的比例为 w0均值为 u0背景像素点占图像的比例为 w1均值为 u1。图像整体的均值为 u w0 * u0 w1 * u1 。此时建立目标函数 g (t) w0 * (u0 - u)² w1 * (u1 - u)² g (t) 即为当分割阈值为 t 时的类间方差。Otsu 算法的核心就是找到使得 g (t) 最大时所对应的 t这个 t 就是最佳阈值 。其计算步骤如下首先统计图像的灰度直方图得到每个灰度级的像素点数 Ni 接着计算每个灰度级的概率 Pi Ni / N 然后遍历所有可能的阈值 t从 0 到 L - 1对于每个阈值 t分别计算前景和背景的像素比例 w0 和 w1以及它们的均值 u0 和 u1 再根据上述公式计算类间方差 g (t) 最后找到使 g (t) 最大的阈值 t这个阈值就是 Otsu 法确定的分割阈值 。在简单图像分割中Otsu 法通常能取得较好的效果。例如对于一幅背景和前景灰度差异明显、且灰度分布较为集中的图像Otsu 法能够快速准确地找到分割阈值将前景和背景清晰地分离出来。然而Otsu 法也存在一定的局限性。当目标与背景的大小比例悬殊时类间方差准则函数可能呈现双峰或多峰此时 Otsu 法的分割效果会变差无法准确地找到最佳分割阈值。此外Otsu 法仅考虑了图像的灰度信息对噪声较为敏感当图像中存在噪声时分割结果容易受到干扰出现误分割的情况 。在处理复杂背景图像时由于背景信息复杂多样Otsu 法很难准确地将目标从背景中分割出来分割精度往往不能满足实际需求 。二、果蝇算法与 Logistic 映射2.1 果蝇算法探秘果蝇算法全称为果蝇优化算法Fruit Fly Optimization AlgorithmFOA 是一种受到果蝇觅食行为启发而开发的群智能优化算法。在自然界中果蝇凭借其优于其他物种的敏锐嗅觉和视觉能力来进行觅食 。果蝇首先利用嗅觉器官感知周围环境中食物散发的气味信息凭借对气味浓度的感知朝着气味浓度高的方向飞行以此确定食物的大致位置。当飞近食物一定距离后果蝇会切换到视觉搜索模式利用其视觉系统寻找食物以及同伴的位置最终准确飞向食物所在位置 。在果蝇算法中将优化问题的解空间巧妙地映射到果蝇的搜索空间。每个果蝇个体都代表着优化问题的一个潜在解通过模拟果蝇的嗅觉和视觉搜索机制在解空间中不断迭代搜索逐步逼近最优解 。其具体原理和核心步骤如下1.初始化参数在算法开始前需要设定一系列关键参数包括果蝇种群规模、最大迭代次数以及搜索空间范围等。种群规模决定了参与搜索的果蝇个体数量较大的种群规模通常能增加搜索的全面性但也会增加计算量最大迭代次数限制了算法的运行时间和搜索深度搜索空间范围则限定了果蝇个体可能出现的位置范围确保搜索在合理的解空间内进行 。2.随机初始化种群位置随机生成果蝇种群在搜索空间中的初始位置一般用二维坐标 (Xi, Yi) 来表示第 i 只果蝇的位置其中 i 1, 2, ..., NN 为种群规模 。这些初始位置是随机分布的目的是让果蝇能够从不同的起点开始搜索增加搜索的多样性避免算法过早陷入局部最优解 。3.嗅觉搜索赋予每个果蝇个体一个随机的飞行方向和距离让果蝇在搜索空间中进行随机飞行 。飞行后计算每个果蝇的气味浓度判定值 Si 。通常 Si 是通过将果蝇的位置代入目标函数中得到的目标函数值反映了该位置对应解的优劣程度目标函数值越好Si 越大也就意味着该位置的 “气味浓度” 越高越有可能接近最优解 。4.视觉搜索在完成嗅觉搜索后找出当前种群中气味浓度最大的果蝇个体即 Sbest其对应的位置为 (Xbest, Ybest) 。然后让所有果蝇个体向该最优个体的位置飞行更新自己的位置。更新公式通常为 Xi Xbest RandomValueYi Ybest RandomValue其中 RandomValue 是一个随机值用于在最优个体附近进行局部搜索使得果蝇能够在最优解附近进行更精细的探索以提高找到全局最优解的概率 。5.计算适应度值将更新后的果蝇位置再次代入目标函数计算每个果蝇的适应度值也就是气味浓度值 。适应度值是衡量果蝇位置优劣的关键指标通过不断比较适应度值算法能够逐步筛选出更优的解 。6.判断终止条件如果满足预设的终止条件如达到最大迭代次数或者找到满足精度要求的最优解则算法停止搜索输出当前找到的最优解否则返回步骤 2继续进行下一轮的迭代搜索 。通过不断迭代果蝇群体逐渐向最优解聚集最终找到问题的近似最优解 。从数学模型角度来看假设目标函数为 f (x)x 为解向量对应果蝇的位置 。在第 t 次迭代中第 i 只果蝇的位置为 Xi (t) [xi1 (t), xi2 (t), ..., xin (t)]其中 n 为解向量的维度 。通过嗅觉搜索果蝇的位置更新为 Xi(t) Xi (t) rand * step其中 rand 为 [-1, 1] 之间的随机数step 为飞行步长 。计算该位置的气味浓度判定值 Si (t) f (Xi(t)) 。在视觉搜索阶段找到当前种群中气味浓度最大的果蝇其位置为 Xbest (t)然后其他果蝇向其靠近更新位置为 Xi (t 1) Xbest (t) rand * step 。不断重复这个过程直到满足终止条件 。果蝇算法在优化问题中具有显著的优势 。其原理基于果蝇的觅食行为非常直观易懂易于实现不需要复杂的数学推导和计算降低了算法应用的门槛 。算法的控制参数相对较少主要包括种群规模、最大迭代次数等参数调整相对容易减少了因参数过多而导致的调参困难和计算复杂度增加的问题 。果蝇算法通过果蝇的嗅觉和视觉搜索机制能够在搜索空间中进行较为广泛的搜索具有较强的全局寻优能力不容易陷入局部最优解尤其适用于处理复杂的多峰函数优化问题能够在多个局部最优解中找到全局最优解 。然而果蝇算法也存在一些不足之处 。在接近最优解时算法的局部搜索能力相对较弱可能需要较长时间才能精确地找到最优解 。因为果蝇在向最优个体靠近时主要依赖随机值进行局部搜索缺乏更有效的局部搜索策略导致在最优解附近的搜索效率较低 。在处理复杂的高维问题时果蝇算法的收敛速度可能会比较慢需要较多的迭代次数才能达到满意的结果 。随着问题维度的增加解空间变得更加复杂和庞大果蝇在搜索过程中需要探索更多的区域这使得算法的收敛速度受到影响计算成本也相应增加 。2.2 Logistic 映射解析Logistic 映射是一种典型的混沌映射在混沌理论和优化算法中有着重要的应用 。其数学定义为给定初始值 x0 ∈ (0, 1)通过迭代公式 xn 1 μ * xn * (1 - xn) 生成混沌序列其中 μ 为控制参数取值范围通常为 [0, 4] 。当 μ 在一定范围内取值时Logistic 映射会展现出混沌特性即生成的序列具有对初始条件的极度敏感性、长期不可预测性和遍历性等特点 。对初始条件的极度敏感性意味着即使初始值 x0 只有微小的差异随着迭代次数的增加生成的混沌序列也会迅速变得完全不同 。长期不可预测性表明无法通过对过去序列的观察准确预测未来的序列值 。遍历性则保证了混沌序列能够在一定范围内遍历所有可能的值这一特性使得 Logistic 映射在优化算法中能够帮助搜索到解空间的各个区域增加找到全局最优解的机会 。三、Logistic 映射优化果蝇算法3.1 优化思路阐述在传统的果蝇算法中初始种群的生成往往具有较强的随机性这种随机性虽然在一定程度上能够保证搜索的广泛性但也可能导致种群分布不够均匀使得算法在初始阶段就难以全面地覆盖解空间从而影响后续的搜索效果 。在处理复杂的多峰函数优化问题时由于初始种群分布的不合理算法可能无法有效地探索到各个峰的区域容易错过全局最优解陷入局部最优 。而且果蝇算法在迭代过程中果蝇个体容易受到当前最优个体的影响导致种群多样性逐渐降低 。当种群多样性不足时算法的搜索能力会受到极大限制难以跳出局部最优解尤其是在面对复杂的高维问题时这种问题会更加突出 。因为在高维空间中局部最优解的数量更多分布更加复杂算法更容易陷入其中而无法自拔 。Logistic 映射所具有的混沌特性为解决果蝇算法的上述问题提供了新的思路 。其混沌序列的遍历性能够使果蝇种群在初始化时更加均匀地分布在解空间中避免了传统随机初始化可能导致的种群分布不均问题 。通过 Logistic 映射生成的混沌序列能够在一定范围内遍历所有可能的值将其应用于果蝇种群的初始化可以确保每个果蝇个体都有机会出现在解空间的不同位置从而全面地覆盖解空间为后续的搜索提供更广泛的基础 。例如在处理一个二维的优化问题时利用 Logistic 映射初始化果蝇种群能够使果蝇个体均匀地分布在整个二维平面上相比传统的随机初始化能够更全面地探索解空间 。Logistic 映射对初始条件的极度敏感性也有助于增强果蝇种群的多样性 。即使初始值只有微小的差异随着迭代次数的增加生成的混沌序列也会迅速变得完全不同 。在果蝇算法的迭代过程中利用这种敏感性对果蝇个体的位置进行混沌扰动可以使果蝇个体在搜索过程中不断尝试新的位置避免算法过早地收敛到局部最优解 。当算法陷入局部最优时通过混沌扰动果蝇个体能够跳出当前的局部最优区域重新探索其他可能的解空间从而增加找到全局最优解的机会 。3.2 优化过程详述利用 Logistic 映射初始化果蝇种群在利用 Logistic 映射初始化果蝇种群时首先需要确定种群规模、搜索空间范围以及 Logistic 映射的初始值和控制参数 。假设种群规模为 N搜索空间范围为 [xmin, xmax] 和 [ymin, ymax]Logistic 映射的控制参数 μ 通常取 4 以保证混沌特性 。对于第 i 只果蝇i 1, 2, ..., N在搜索范围内以某个初始点可以是搜索空间的中心或随机点为基础利用 Logistic 映射对其坐标 (Xi, Yi) 进行初始化 。具体步骤如下对于每个果蝇个体分别为其 X 坐标和 Y 坐标选择不同的初始值 x0 和 y0且 x0, y0 ∈ (0, 1) 。例如为第 1 只果蝇的 X 坐标选择初始值 x0 0.3Y 坐标选择初始值 y0 0.4 。通过 Logistic 映射迭代公式 xn 1 μ * xn * (1 - xn) 和 yn 1 μ * yn * (1 - yn)分别生成 X 坐标和 Y 坐标的混沌序列 。假设迭代次数为 M先进行 M 次迭代舍弃前面的若干次如前 100 次迭代结果以确保进入混沌状态 。然后取后面的 N 次迭代结果将其分别作为 N 个果蝇个体的 X 坐标和 Y 坐标的初始值 。例如经过迭代后得到 X 坐标的混沌序列 [x1, x2, ..., xN] 和 Y 坐标的混沌序列 [y1, y2, ..., yN]则第 i 只果蝇的初始位置为 (Xi, Yi) (xmin xi * (xmax - xmin), ymin yi * (ymax - ymin)) 。将 Logistic 混沌序列融入果蝇算法的迭代过程在果蝇算法的迭代过程中引入 Logistic 混沌序列进行混沌扰动以增强种群多样性避免算法陷入局部最优 。具体步骤如下在每次迭代中当完成果蝇群体的位置更新后对于当前的最优果蝇个体对其位置进行混沌扰动 。设最优果蝇个体的位置为 (Xbest, Ybest)选择一个新的初始值 x0 ∈ (0, 1)利用 Logistic 映射生成混沌序列 。例如经过若干次迭代后得到混沌值 x 。根据混沌值 x 对最优果蝇个体的位置进行调整 。调整公式可以为 Xbest Xbest (x - 0.5) * stepYbest Ybest (x - 0.5) * step其中 step 为一个适当的步长用于控制扰动的幅度 。例如若 step 0.1x 0.8则 Xbest Xbest (0.8 - 0.5) * 0.1 Xbest 0.03Ybest Ybest 0.03 。以扰动后的最优果蝇个体位置 (Xbest, Ybest) 为引导更新果蝇群体的位置 。其他果蝇个体按照传统果蝇算法的视觉搜索步骤向扰动后的最优个体位置飞行更新自己的位置 。通过这种方式在每次迭代中都对最优个体进行混沌扰动使果蝇群体能够不断探索新的区域增加找到全局最优解的可能性 。四、优化算法在 Otsu 图像分割中的应用4.1 融合原理剖析将基于 Logistic 映射的果蝇算法与 Otsu 图像分割方法相结合旨在利用优化果蝇算法强大的全局搜索能力精准地寻找 Otsu 法中的最优阈值从而显著提升图像分割的精度和效果 。在传统 Otsu 图像分割方法中通过计算不同阈值下前景和背景的类间方差选取使类间方差最大的阈值作为分割阈值 。然而当面对复杂图像时由于解空间的复杂性传统的遍历搜索方式容易陷入局部最优导致分割阈值不准确进而影响分割效果 。基于 Logistic 映射的果蝇算法通过 Logistic 映射初始化果蝇种群使种群在解空间中更均匀地分布同时在迭代过程中对最优个体进行混沌扰动增强了种群的多样性提高了算法跳出局部最优的能力能够更有效地在解空间中搜索到全局最优解 。将二者融合时把 Otsu 法中的类间方差作为果蝇算法的适应度函数 。果蝇算法中的每个果蝇个体都代表着一个可能的分割阈值果蝇群体通过不断迭代搜索寻找使适应度函数即类间方差最大的果蝇个体该个体所对应的阈值就是 Otsu 图像分割的最优阈值 。在这个过程中果蝇算法的搜索能力与 Otsu 法的分割原理相互结合果蝇算法为 Otsu 法提供了更高效的阈值搜索方式而 Otsu 法的类间方差准则为果蝇算法的搜索提供了明确的目标和评价标准二者相辅相成共同实现更精准的图像分割 。4.2 实现步骤展示初始化设定果蝇种群规模为 N最大迭代次数为 Max_iter利用 Logistic 映射对果蝇种群在搜索空间中的位置进行初始化 。确定搜索空间范围假设图像的灰度级范围是 [0, L - 1]则搜索空间范围为 [0, L - 1] 。对于第 i 只果蝇i 1, 2, ..., N利用 Logistic 映射生成混沌序列将混沌序列映射到搜索空间范围内得到果蝇的初始位置 Xi 和 Yi 。嗅觉搜索赋予每个果蝇个体一个随机的飞行方向和距离让果蝇在搜索空间中进行随机飞行 。飞行后计算每个果蝇的气味浓度判定值 Si 。将果蝇的位置 Xi 和 Yi 代入 Otsu 法的类间方差计算公式中得到 Si 。假设当前果蝇的位置对应的阈值为 t根据 Otsu 法的计算步骤先统计图像的灰度直方图得到每个灰度级的像素点数 Ni 计算每个灰度级的概率 Pi Ni / N 。然后计算前景和背景的像素比例 w0 和 w1以及它们的均值 u0 和 u1 进而计算类间方差 Si w0 * (u0 - u)² w1 * (u1 - u)² 其中 u w0 * u0 w1 * u1 。视觉搜索找出当前种群中气味浓度最大的果蝇个体即 Sbest其对应的位置为 (Xbest, Ybest) 。让所有果蝇个体向该最优个体的位置飞行更新自己的位置 。更新公式为 Xi Xbest RandomValueYi Ybest RandomValue其中 RandomValue 是一个随机值用于在最优个体附近进行局部搜索 。混沌扰动对当前的最优果蝇个体选择一个新的初始值 x0 ∈ (0, 1)利用 Logistic 映射生成混沌序列 。根据混沌值 x 对最优果蝇个体的位置进行调整调整公式为 Xbest Xbest (x - 0.5) * stepYbest Ybest (x - 0.5) * step其中 step 为一个适当的步长 。然后以扰动后的最优果蝇个体位置 (Xbest, Ybest) 为引导更新果蝇群体的位置 。计算适应度值将更新后的果蝇位置再次代入 Otsu 法的类间方差计算公式计算每个果蝇的适应度值即气味浓度值 。判断终止条件如果满足预设的终止条件如达到最大迭代次数 Max_iter或者找到满足精度要求的最优解则算法停止搜索输出当前找到的最优解即最优分割阈值否则返回步骤 2继续进行下一轮的迭代搜索 。图像分割利用得到的最优分割阈值根据 Otsu 图像分割方法的原理将图像划分为前景和背景两个部分完成图像分割 。⛳️ 运行结果 部分代码 参考文献[1]李鹏,陈守静,杨山山,等.基于Logistic映射的果蝇算法优化Otsu图像分割方法[J].国外电子测量技术, 2022(007):041. 部分理论引用网络文献若有侵权联系博主删除 关注我领取海量matlab电子书和数学建模资料团队擅长辅导定制多种科研领域MATLAB仿真助力科研梦 各类智能优化算法改进及应用生产调度、经济调度、装配线调度、充电优化、车间调度、发车优化、水库调度、三维装箱、物流选址、货位优化、公交排班优化、充电桩布局优化、车间布局优化、集装箱船配载优化、水泵组合优化、解医疗资源分配优化、设施布局优化、可视域基站和无人机选址优化、背包问题、 风电场布局、时隙分配优化、 最佳分布式发电单元分配、多阶段管道维修、 工厂-中心-需求点三级选址问题、 应急生活物质配送中心选址、 基站选址、 道路灯柱布置、 枢纽节点部署、 输电线路台风监测装置、 集装箱调度、 机组优化、 投资优化组合、云服务器组合优化、 天线线性阵列分布优化、CVRP问题、VRPPD问题、多中心VRP问题、多层网络的VRP问题、多中心多车型的VRP问题、 动态VRP问题、双层车辆路径规划2E-VRP、充电车辆路径规划EVRP、油电混合车辆路径规划、混合流水车间问题、 订单拆分调度问题、 公交车的调度排班优化问题、航班摆渡车辆调度问题、选址路径规划问题、港口调度、港口岸桥调度、停机位分配、机场航班调度、泄漏源定位、冷链、时间窗、多车场等、选址优化、港口岸桥调度优化、交通阻抗、重分配、停机位分配、机场航班调度、通信上传下载分配优化 机器学习和深度学习时序、回归、分类、聚类和降维2.1 bp时序、回归预测和分类2.2 ENS声神经网络时序、回归预测和分类2.3 SVM/CNN-SVM/LSSVM/RVM支持向量机系列时序、回归预测和分类2.4 CNN|TCN|GCN卷积神经网络系列时序、回归预测和分类2.5 ELM/KELM/RELM/DELM极限学习机系列时序、回归预测和分类2.6 GRU/Bi-GRU/CNN-GRU/CNN-BiGRU门控神经网络时序、回归预测和分类2.7 ELMAN递归神经网络时序、回归\预测和分类2.8 LSTM/BiLSTM/CNN-LSTM/CNN-BiLSTM/长短记忆神经网络系列时序、回归预测和分类2.9 RBF径向基神经网络时序、回归预测和分类2.10 DBN深度置信网络时序、回归预测和分类2.11 FNN模糊神经网络时序、回归预测2.12 RF随机森林时序、回归预测和分类2.13 BLS宽度学习时序、回归预测和分类2.14 PNN脉冲神经网络分类2.15 模糊小波神经网络预测和分类2.16 时序、回归预测和分类2.17 时序、回归预测预测和分类2.18 XGBOOST集成学习时序、回归预测预测和分类2.19 Transform各类组合时序、回归预测预测和分类方向涵盖风电预测、光伏预测、电池寿命预测、辐射源识别、交通流预测、负荷预测、股价预测、PM2.5浓度预测、电池健康状态预测、用电量预测、水体光学参数反演、NLOS信号识别、地铁停车精准预测、变压器故障诊断图像处理方面图像识别、图像分割、图像检测、图像隐藏、图像配准、图像拼接、图像融合、图像增强、图像压缩感知 路径规划方面旅行商问题TSP、车辆路径问题VRP、MVRP、CVRP、VRPTW等、无人机三维路径规划、无人机协同、无人机编队、机器人路径规划、栅格地图路径规划、多式联运运输问题、 充电车辆路径规划EVRP、 双层车辆路径规划2E-VRP、 油电混合车辆路径规划、 船舶航迹规划、 全路径规划规划、 仓储巡逻、公交车时间调度、水库调度优化、多式联运优化 无人机应用方面无人机路径规划、无人机控制、无人机编队、无人机协同、无人机任务分配、无人机安全通信轨迹在线优化、车辆协同无人机路径规划、 通信方面传感器部署优化、通信协议优化、路由优化、目标定位优化、Dv-Hop定位优化、Leach协议优化、WSN覆盖优化、组播优化、RSSI定位优化、水声通信、通信上传下载分配 信号处理方面信号识别、信号加密、信号去噪、信号增强、雷达信号处理、信号水印嵌入提取、肌电信号、脑电信号、信号配时优化、心电信号、DOA估计、编码译码、变分模态分解、管道泄漏、滤波器、数字信号处理传输分析去噪、数字信号调制、误码率、信号估计、DTMF、信号检测电力系统方面微电网优化、无功优化、配电网重构、储能配置、有序充电、MPPT优化、家庭用电、电/冷/热负荷预测、电力设备故障诊断、电池管理系统BMSSOC/SOH估算粒子滤波/卡尔曼滤波、 多目标优化在电力系统调度中的应用、光伏MPPT控制算法改进扰动观察法/电导增量法、电动汽车充放电优化、微电网日前日内优化、储能优化、家庭用电优化、供应链优化\智能电网分布式能源经济优化调度虚拟电厂能源消纳风光出力控制策略多目标优化博弈能源调度鲁棒优化电力系统核心问题经济调度机组组合、最优潮流、安全约束优化。新能源消纳风光储协同规划、弃风弃光率量化、爬坡速率约束建模多能耦合系统电-气-热联合调度、P2G与储能容量配置新型电力系统关键技术灵活性资源虚拟电厂、需求响应、V2G车网互动、分布式储能优化稳定与控制惯量支撑策略、低频振荡抑制、黑启动预案设计低碳转型碳捕集电厂建模、绿氢制备经济性分析、LCOE度电成本核算风光出力预测LSTM/Transformer时序预测、预测误差场景生成GAN/蒙特卡洛不确定性优化鲁棒优化、随机规划、机会约束建模能源流分析、PSASP复杂电网建模经济调度算法优化改进模型优化潮流分析鲁棒优化创新点文献复现微电网配电网规划运行调度综合能源混合储能容量配置平抑风电波动多目标优化静态交通流量分配阶梯碳交易分段线性化光伏混合储能VSG并网运行构网型变流器 虚拟同步机等包括混合储能HESS蓄电池超级电容器电压补偿,削峰填谷一次调频功率指令跟随光伏储能参与一次调频功率平抑直流母线电压控制MPPT最大功率跟踪控制构网型储能光伏微电网调度优化新能源虚拟同同步机VSG并网小信号模型 元胞自动机方面交通流 人群疏散 病毒扩散 晶体生长 金属腐蚀 雷达方面卡尔曼滤波跟踪、航迹关联、航迹融合、SOC估计、阵列优化、NLOS识别 车间调度零等待流水车间调度问题NWFSP、置换流水车间调度问题PFSP、混合流水车间调度问题HFSP、零空闲流水车间调度问题NIFSP、分布式置换流水车间调度问题 DPFSP、阻塞流水车间调度问题BFSP5 往期回顾扫扫下方二维码