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张小明 2026/1/13 7:10:30
哈尔滨网站制作工具,软件服务外包人才培养专业,商城县建设局网站,企业内部网页设计量子力学中的薛定谔方程:通解、定态与本征函数特性 1. 定态薛定谔方程(TISE)的解与本征值问题 定态薛定谔方程(TISE)通常有多个解,每个解对应着不同的 $\psi(x)$ 值及其相应的本征值 $E$。为了区分不同的 $\psi_n(x)$ 并将它们与对应的本征值 $E_n$ 关联起来,我们为它…量子力学中的薛定谔方程:通解、定态与本征函数特性1. 定态薛定谔方程(TISE)的解与本征值问题定态薛定谔方程(TISE)通常有多个解,每个解对应着不同的 $\psi(x)$ 值及其相应的本征值 $E$。为了区分不同的 $\psi_n(x)$ 并将它们与对应的本征值 $E_n$ 关联起来,我们为它们加上下标。具有方程 2.26 形式的方程被称为本征值方程,不同的 $E_n$ 值是本征值,对应的 $\psi_n(x)$ 值则被称为本征函数。有时候,一些本征函数可能会共享相同的本征值,这种情况下这些本征函数被称为简并的。不过,对于一维束缚态,本征函数是非简并的,所以我们暂时忽略简并情况,但在处理三维问题时,简并将是一个重要的考虑因素。通过比较方程 2.25 和 2.26 括号中的第一项,我们可以得到动量算符的 $x$ 分量形式:$\hat{p}_x = \frac{\hbar}{i}\frac{d}{dx}$虚数 $i$ 的出现并不需要担心,因为波函数本身可以是复函数。需要注意的是,代表可观测物理量(如动量或能量)的算符的本征函数必须是实函数,因为测量到虚数动量是荒谬的。2. 薛定谔方程的通解与叠加定理TISE 是一个线性微分方程,这意味着其解的线性组合也是解。而且,本征函数构成了一组完备的函数集,即任何函数都可以表示为它们的线性组合,就像三维空间中的任何向量都可以表示为单位向量 $\hat{i}$、$\hat{j}$ 和 $\hat{k}$ 的线性组合一样。因此,TISE 的通解 $\psi(x)$(没有下标表示它不是本征函数)可以写成:$\psi(x) = \sum_{n = 1}^{\i
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